勾股定理应用题和答案

　　导语：勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。以下是小编整理勾股定理应用题和答案的资料，欢迎阅读参考。

　　1．长方体(或正方体)面上的两点间的最短距离

　　长方体(或正方体)是立体图形，但它的每个面都是平面．若计算同一个面上的两点之间的距离比较容易，若计算不同面上的两点之间的距 离，就必须把它们转化到同一个平面内，即把长方体(或正方体)设法展开成为一个平面，使计算距离的两个点处在同一个平面中，这样就可以利用勾股定理加以解决了．所以立体图形中求两点之间的 最短距离，一定要审清题意，弄清楚到底是同一平面中两点间的距离问题还是异面上两点间的距离问题．

　　谈重点 长方体表面上两点间最短距离

　　因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的'两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况——前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．

　　【例1】①是一个棱长为3 c的正方体，它的6个表面都分别被分成了3×3的小正方形，其边长为1 c。现在有一只爬行速度为2 c/s的蚂蚁，从下底面的A点沿着正方体的表面爬行到右侧表面上的B点，小明把蚂蚁爬行的时间记录了下来，是2。5 s．经过简短的思考，小明先是脸上露出了惊讶的表情，然后又露出了欣赏的目光．

　　你 知道小明为什么会佩服这只蚂蚁的举动吗？

　　解：②，在Rt△ABD中，AD＝4 c，BD＝3 c。

　　由勾股定理，AB2＝BD2＋AD2＝32 ＋42＝25，AB＝5 c，∴蚂蚁的爬行距离为5 c。

　　又知道蚂蚁的爬行速度为2 c/s，

　　∴它从点A沿着正方体的表面爬行到点B处，需要时间为52＝2。5 s。

　　小明通过思考、判断，发现蚂蚁爬行的时间恰恰就是选择了这种最优的方式，所以他感到惊讶和佩服．

　　【例2】一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 d,3 d和1 d，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？

　　分析：由于蚂蚁是沿台阶的表面由A爬行到B，故需把三个台阶展开成平面图形

　　解：将台阶展开成平面图形后，可知AC＝5 d，BC＝3×(3＋1)＝12 d，∠C＝90°。

　　在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，

　　∴AB2＝52＋122＝132，

　　∴AB＝13 d。

　　故 蚂蚁爬到B点的最短路程是13 d。

　　4．如何正确利用勾股定理及其逆定理解决生活中的问题

　　利用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题，重要的是将实际问题转化成数学模型(直角三角形模型)，将实际问题中的“数”转化为定理中的“形”，再转化为“数”．解题的关键是深刻理解题意，并画出符合条件的图形．

　　解决几何体表面上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体图形转化为平面图形，具体步骤是：

　　(1)把立体图形展成平面图形；

　　(2)确定点的位置；

　　(3)确定直角三角形；

　　(4)分析直角三角形的边长，用勾股定理求解．

　　求出CD的长吗？

　　解：设CD＝x c，由题意知DE＝x c，BD＝(8－x) c，AE＝AC＝6 c，

　　在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝10 c。

　　于是BE＝10－6＝4 c。

　　在Rt△BDE中，由勾股定理得42＋x2＝(8－x)2， 解得x＝3。

　　故CD的长为3 c。